Polynome und Bruchterme in der Oberstufe: faktorisieren, Polynomdivision und Bruchterme vereinfachen

Die Bildungsstandards Mathematik der KMK für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18.10.2012) zählen das sichere Rechnen mit Termen zur Kompetenz K5, «Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen», und erlauben im Abitur hilfsmittelfreie Aufgaben bis zu einem Drittel der Prüfungsaufgabe.

Genau dort zählen Polynome und Bruchterme: Nullstellen ganzrationaler Funktionen, Definitionslücken gebrochenrationaler Funktionen und das Vereinfachen vor dem Ableiten musst du ohne Taschenrechner können. Hier findest du die Verfahren in der richtigen Reihenfolge und sieben durchgerechnete Aufgaben.

Was die KMK-Bildungsstandards verlangen

Die Bildungsstandards ordnen das Termrechnen der Kompetenz K5 zu und die Untersuchung von Funktionen der Leitidee L4; die Länder setzen das in ihren Lehrplänen und Abiturprüfungen um.

Anforderungsbereich (K5)	Die Schülerinnen und Schüler können …	Beispiel
I	elementare Lösungsverfahren verwenden; Formeln und Symbole direkt anwenden	binomische Formel erkennen
II	formale mathematische Verfahren anwenden; mit mathematischen Objekten im Kontext umgehen	Polynomdivision, um eine Funktion zu faktorisieren
III	komplexe Verfahren durchführen; verschiedene Lösungs- und Kontrollverfahren bewerten	Lösungsweg wählen und prüfen

Polynome faktorisieren: die richtige Reihenfolge

Prüfe immer in derselben Reihenfolge: ausklammern, binomische Formeln, eine Nullstelle raten und Polynomdivision, bei biquadratischen Termen Substitution. Ganzzahlige Nullstellen findest du unter den Teilern des Absolutglieds.

Aufgabe 1

Faktorisiere 4x³ − 8x². Lösung: 4x²(x − 2).

Aufgabe 2

Faktorisiere 9x² − 12x + 4. Lösung: 9x² = (3x)², 4 = 2² und 12x = 2 · 3x · 2, also (3x − 2)².

Aufgabe 3

Bestimme alle Nullstellen von f(x) = x³ + 2x² − 5x − 6.

Lösung: Teiler von −6 testen: f(−1) = −1 + 2 + 5 − 6 = 0. Polynomdivision (x³ + 2x² − 5x − 6) : (x + 1) = x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2). Also f(x) = (x + 1)(x − 2)(x + 3) mit den Nullstellen −3, −1 und 2.

Aufgabe 4

Löse x⁴ − 5x² + 4 = 0 ohne Taschenrechner.

Lösung: Substitution z = x²: z² − 5z + 4 = (z − 1)(z − 4) = 0, also z = 1 oder z = 4 und x ∈ {−2; −1; 1; 2}.

Bruchterme vereinfachen

Bei Bruchtermen gilt: Zähler und Nenner faktorisieren, die Definitionsmenge am Ausgangsterm bestimmen und erst dann gemeinsame Faktoren kürzen.

Aufgabe 5

Vereinfache (x² − 6x + 9)/(x² − 9).

Lösung: (x − 3)²/[(x − 3)(x + 3)], D = ℝ \ {−3; 3}. Gekürzt: (x − 3)/(x + 3). Bei x = 3 bleibt eine Definitionslücke (hebbar), bei x = −3 ein Pol.

Aufgabe 6

Fasse zusammen: 2/x + 3/(x + 2).

Lösung: Hauptnenner x(x + 2), D = ℝ \ {−2; 0}: [2(x + 2) + 3x]/[x(x + 2)] = (5x + 4)/[x(x + 2)].

Aufgabe 7

Vereinfache (x² − 1)/x : (x + 1)/x².

Lösung: Mit dem Kehrwert multiplizieren: (x − 1)(x + 1)/x · x²/(x + 1) = x(x − 1), für x ≠ 0 und x ≠ −1.

Für die Wiederholung mit Karteikarten lies unseren Beitrag Anki-Decks fürs Studium erstellen; wenn die Prüfung naht, hilft der intensive Lernplan für 3 Wochen.

Offizielle Quellen: KMK, Bildungsstandards Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012). Quellen geprüft am 12. November 2026.

Häufige Fragen